2 Илья: «...когда девяток станет ровно бесконечное количество...» — это же бред! Количество измеряется числами, а бесконечность — не число (сам же говоришь)! Это «когда» не только не произойдет, но и никем не ожидается (читай ниже).
Слушайте внимательно!
Математика — это не только ценный мех, но еще и математическая нотация, которую нужно четко понимать. Расшифрую пошагово:
«0,a(a)» = «lim (n->inf) Sum (k=1..n) (a/10 k)» = «a/9»
Кавычки символизируют равенство нотаций (выражений), а не значений этих выражений.
Т. е. математическая запись 0,9(9) — это сокращенная запись суммы по k от 1..inf, а бесконечная сумма — это сокращенная запись предела конечной суммы при верхнем пределе, стремящемся к бесконечности.
Т. е. 0,(9) — это alias предела (для юниксоидов
.
А теперь смертельный номер: lim (n->inf) f(n) — это тоже сокращенная запись следующего выражения (уже окончательного):
Пределом последовательности f(n) при n->inf называется такое число A, что для любого наперед заданного E найдется такое n*, что для любых n>n* будет выполняться неравенство |f(n)-A|<E. Иными словами, для сколь угодно малой полосы вокруг A, рано или поздно последовательность f(n) окажется внутри неё.
А чтобы это предложение каждый раз не повторять, пишут просто — предел = A. Или, как здесь — 0,(9)=1.
Домашнее задание комментаторам: что такое (подробно) {f’(x0),(f(x0))’}, x0 — заданная точка. И пусть кто-нибудь скажет, что это вектор, или, еще хуже, строка!
Пардон, пара дополнений:
1. «Кавычки символизируют равенство нотаций (выражений), а не значений этих выражений». Это не значит, что значения не равны. Они либо равны, либо не существуют. Просто при такой записи значения не вычисляются (т. е. это не преобразования, а перефразирование одной и той же сущности).
2. В строчке про смертельный номер нужно добавить lim ... = A — это тоже сокращенная запись ...
Иначе определение предела не стыкуется с нотацией и моим выводом в следующем абзаце.
