valyala
Новичок
Теория комплексных чисел
Demiurg, я последовал твоему совету, приведенному тут http://phpclub.ru/talk/showthread.php?threadid=48770, и ознакомился с теорией комплексных чисел.
Вот мои наблюдения:
1) Я так и не понял, чем число, равное пределу выражения (1 + 1/n)^n при n, стремящемся к плюс бесконечности (в простонародье его называют e), лучше, чем другие действительные числа. Почему в формуле Эйлера
e^(j*x) = cos(x) + j*sin(x)
число e принято понимать буквально? Ведь логичнее было бы представить e^(j*x) как некий оператор F(x), вращающий вектор комплексного числа z на угол x в полярной системе координат при операции умножения: z * F(x).
Но в этом случае встает вопрос, как интерпретировать F(j*x). Современная теория комплексных чисел дает ответ: F(j*x) = e^(-x), т.е. оператор вращения волшебным образом превращается в обычное рациональное чило. Кто-нибудь может объяснить, откуда в этой формуле взялось число e?
2) Вернемся к нашим баранам, т.е. формуле Эйлера. Из нее следует, что F(x) = F(x + 2*pi*n) для целых n, т.е. оператор вращения имеет период, равный 2*pi. Тогда, согласно современной теории комплексных чисел, F(j*x) = e^(-x) = e^(-x + 2*pi*n) для целых n. Не находите противоречия?
3) Пусть z - комплексное, a - действительное число. Рассмотрим следующее выражение:
z^a = (|z| * e^(j*x))^a = |z|^a * e^(j*x*a) = |z|^a * e^(j*a*(x + 2*pi*n)) для целых n.
В учебниках по математике оно используется при доказательстве того факта, что многочлен i-ой степени имеет ровно i корней двух видов: действительные и комплексно-сопряженные. Например, многочлен четвертой степени P(x) = 1 - x^4 имеет четыре корня, которые можно получить, решив уравнение: 1 - x^4 = 0, воспользовавшись приведенной выше формулой.
Внимание, вопрос: сколько корней имеет уравнение 1 - x^e = 0?
4) Из курса школьной математики известно, что единицу можно возвести в любую действительную степень, отличную от бесконечности. В результате получим единицу. А теперь еще раз прочитайте п.3. Не видите никаких противоречий?
Предлагаю высказать собственные соображения насчет моих рассуждений и современной теории комплексных чисел.
Demiurg, дам тебе тоже совет: ознакомься с грамматикой русского языка. Ее тоже вроде бы в школе изучали
Demiurg, я последовал твоему совету, приведенному тут http://phpclub.ru/talk/showthread.php?threadid=48770, и ознакомился с теорией комплексных чисел.
Вот мои наблюдения:
1) Я так и не понял, чем число, равное пределу выражения (1 + 1/n)^n при n, стремящемся к плюс бесконечности (в простонародье его называют e), лучше, чем другие действительные числа. Почему в формуле Эйлера
e^(j*x) = cos(x) + j*sin(x)
число e принято понимать буквально? Ведь логичнее было бы представить e^(j*x) как некий оператор F(x), вращающий вектор комплексного числа z на угол x в полярной системе координат при операции умножения: z * F(x).
Но в этом случае встает вопрос, как интерпретировать F(j*x). Современная теория комплексных чисел дает ответ: F(j*x) = e^(-x), т.е. оператор вращения волшебным образом превращается в обычное рациональное чило. Кто-нибудь может объяснить, откуда в этой формуле взялось число e?
2) Вернемся к нашим баранам, т.е. формуле Эйлера. Из нее следует, что F(x) = F(x + 2*pi*n) для целых n, т.е. оператор вращения имеет период, равный 2*pi. Тогда, согласно современной теории комплексных чисел, F(j*x) = e^(-x) = e^(-x + 2*pi*n) для целых n. Не находите противоречия?
3) Пусть z - комплексное, a - действительное число. Рассмотрим следующее выражение:
z^a = (|z| * e^(j*x))^a = |z|^a * e^(j*x*a) = |z|^a * e^(j*a*(x + 2*pi*n)) для целых n.
В учебниках по математике оно используется при доказательстве того факта, что многочлен i-ой степени имеет ровно i корней двух видов: действительные и комплексно-сопряженные. Например, многочлен четвертой степени P(x) = 1 - x^4 имеет четыре корня, которые можно получить, решив уравнение: 1 - x^4 = 0, воспользовавшись приведенной выше формулой.
Внимание, вопрос: сколько корней имеет уравнение 1 - x^e = 0?
4) Из курса школьной математики известно, что единицу можно возвести в любую действительную степень, отличную от бесконечности. В результате получим единицу. А теперь еще раз прочитайте п.3. Не видите никаких противоречий?
Предлагаю высказать собственные соображения насчет моих рассуждений и современной теории комплексных чисел.
Demiurg, дам тебе тоже совет: ознакомься с грамматикой русского языка. Ее тоже вроде бы в школе изучали
![[DAN]](/talk/data/avatars/m/0/23.jpg?1320946380){kind=avatar}