надо.
Только непонятно, зачем ты на форум сам с собой разговаривать ходишь.
что у тебя за переменные $next_day, $day, что ты хочешь получить от функции date с такими параметрами - загадка за семью печатями.
как тебе помочь, не зная того, что знгаешь только ты - неизвестно.
как сравнивать даты - тут недавно писали
дату храним или получаем виде unix timestamp в переменной $old_date
дальше просто
if(intval(date("Ym"))>intval(date("Ym",$old_date))) echo "новый месяц!";