Вы используете устаревший браузер. Этот и другие сайты могут отображаться в нём некорректно. Вам необходимо обновить браузер или попробовать использовать другой.
Если Имя1 выбрано, то все показывает нормально. Т.е. из 2 checkboxов 1 выбран, другой нет. А вот если выбрать оба (Имя1 и Имя2), то оба чекбокса пустые
Такой еще момент. В mysql Имя1 и Имя2 хранятся в одной ячейке и пишутся через запятую. Как быть в таком случае?